Mange studerende, der studerede højere matematik i deres seniorår, spekulerede sandsynligvis på: hvor anvendes differentialligninger (DE) i praksis? Dette spørgsmål diskuteres som regel ikke i forelæsninger, og lærere går straks videre til at løse DE uden at forklare de studerende anvendelsen af differentialligninger i det virkelige liv. Vi vil forsøge at udfylde dette hul.
Lad os starte med at definere en differentialligning. Så en differentialligning er en ligning, der forbinder værdien af en aflednings funktion med selve funktionen, værdierne for den uafhængige variabel og nogle tal (parametre).
Det mest almindelige område, hvor differentialligninger anvendes, er den matematiske beskrivelse af naturlige fænomener. De bruges også til at løse problemer, hvor det er umuligt at etablere en direkte sammenhæng mellem nogle værdier, der beskriver en proces. Sådanne problemer opstår i biologi, fysik, økonomi.
I biologi:
Den første meningsfulde matematiske model, der beskriver biologiske samfund, var Lotka-Volterra-modellen. Den beskriver en bestand af to interagerende arter. Den første af dem, kaldet rovdyr, i fravær af den anden, dør ud i henhold til loven x ′ = –ax (a> 0), og den anden - bytte - i mangel af rovdyr multipliceres på ubestemt tid i overensstemmelse med loven af Malthus. Interaktionen mellem disse to typer er modelleret som følger. Ofre dør ud med en hastighed svarende til antallet af møder med rovdyr og bytte, som i denne model antages at være proportional med størrelsen af begge populationer, dvs. lig med dxy (d> 0). Derfor er y ′ = by - dxy. Rovdyr reproducerer med en hastighed, der er proportional med antallet af spist bytte: x ′ = –ax + cxy (c> 0). System af ligninger
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = af - dxy, (2)
rovdyr-byttet, der beskriver en sådan population, kaldes Lotka-Volterra-systemet (eller modellen).
I fysik:
Newtons anden lov kan skrives i form af en differentialligning
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), hvor m er legemets masse, x er dens koordinat, F (x, t) er den kraft, der virker på kroppen med koordinaten x på tidspunktet t. Dens løsning er kroppens bane under påvirkning af den specificerede kraft.
I økonomi:
Model for naturlig vækst i produktionen
Vi antager, at nogle produkter sælges til en fast pris P. Lad Q (t) angive mængden af solgte produkter på tidspunktet t; så på dette tidspunkt er indkomsten lig med PQ (t). Lad en del af den specificerede indkomst blive brugt på investeringer i produktion af solgte produkter, dvs.
I (t) = mPQ (t), (1)
hvor m er investeringsgraden - et konstant antal og 0
